Fourierreihen

Nach dem Fourier-Theorem lassen sich periodische Funktionen durch Linear- kombination der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus in einer Fourierreihe entwickeln.
Man bezeichnet dies als Fourierzerlegung, Fourieranalyse oder auch als harmonische Analyse. Sei f(x) eine periodische Funktion mit der Periode L, d.h. f(x+L) = f(x). Für die Fourierdarstellung dieser Funktion gilt:

mit den Fourierkoeffizienten

und

Wir wollen hier nicht auf die Herleitung dieser Gleichungen eingehen, sondern deren Aussagen an einem konkreten Beispiel diskutieren. Betrachten wir dazu eine Rechteckfunktion mit der Periode L, wie sie in Abbildung 1a) dargestellt ist. Die Funktion f(x) ist definiert durch:

Um diese Funktion in einer Fourierreihe darzustellen, müssen wir die Fourier- koeffizienten berechnen. Da die Rechteckfunktion gerade
ist, d.h. f(x) = f(-x), verschwinden alle Koeffizienten bn. Wir müssen daher nur die Koeffizienten an bestimmen. Für a0 berechnen wir:

Für die restlichen Koeffizienten an gilt:

Betrachten wir als konkretes Beispiel eine Rechteckfunktion mit einem Tastverhältnis von L : l = 2 : 1 (Abbildung 1 a). Für die Fourierreihe gilt dann:

In Abbildung 1b) sind die ersten drei Glieder der Fourierreihe sowie der Gleichanteil
grafisch dargestellt, darunter im Teilbild 1c) die Summe dieser Terme.

Abbildung 1

Mit dem folgenden Java Applet können Sie die Fourierreihen für ein Rechteck-, Dreieck- oder Sägezahnsignal berechnen. Wählen Sie die Funktion und die Anzahl der Ordnungen aus und klicken Sie auf "berechnen".